Nazaj finance R

Dejstvo ali fikcija?

Ne glede na to, ali ste profesionalni finančni svetovalec ali zgolj občasni vlagatelj, ste zagotovo že slišali, da je pri naložbah zelo smiselno upoštevati diverzifikacijo oz. povečevanja raznovrstnosti. Na prvi pogled je to zagotovo smiselno, kot pravi tudi pregovor, da ne nosimo vseh jajc v eni košari.

Zavedati pa se je treba tudi drugega vidika, ki ga je že leta 1965 izpostavil znani vlagatelj Warren Buffett in pristop diverzifikacije primerja z analogijo velikega harema. S to primerjavo je želel izpostaviti, da pri iskanju najboljših naložb za izvedbo diverzifikacije, število sredstev izključuje optimalno uspešnost. Preprosto ni dovolj delnic, obveznic ali drugih finančnih inštrumentov, ki bi ustrezali merilom potencialno visokim donosom, prilagojenim tveganju. Upoštevati pa je treba, da je v trenutku njegove izjave želel s svojimi naložbami premagati indeks Dow Jones za \(10\ \%\) na leto.

Na podlagi teh dveh pogledov še vedno nimamo odgovora – komu naj verjamemo, splošnemu konsenzu v obliki modrosti množice ali modrosti mojstra? V nadaljevanju bomo pogledali, kaj lahko ugotovimo na podlagi podatkov.

Naključni vzorec delnic

Koncept diverzifikacije lahko predstavimo na več različnih načinov. V tem prispevku se bomo tega lotili s pomočjo podatkovnega pristopa, kjer bomo sestavili naključno skupino delnic, ki jih bomo vključili v portfelj. Nato bomo na grafični način prikazali motivacijo za uporabo diverzifikacije in njene prednosti ter slabosti.

Najprej predpostavimo, da imamo na voljo \(10\) delnic, ki jih preprosto poimenujemo s črkami abecede A, B, C, D, E, F, G, H, I in J.

set.seed(1234)

povprecje <- seq(-.03/12, .08/12, .001)
stdev <- seq(0.02, 0.065, .005)

matrika <- matrix(nrow = 60, ncol = 10)
for (i in 1:ncol(matrika)) {
  povprecje_vzorec <- sample(povprecje, 1, replace = FALSE)
  stdev_vzorec <- sample(stdev, 1, replace = FALSE)
  matrika[, i] <- rnorm(nrow(matrika), povprecje_vzorec, stdev_vzorec)
}

podatki <-
  matrika %>%
  as.data.frame() %>%
  set_colnames(toupper(letters[1:10])) %>%
  mutate(mesec = 1:60) %>%
  pivot_longer(cols = A:J, names_to = "delnica", values_to = "donos.mesecni") %>%
  rbind(data.frame(mesec = 0, delnica = toupper(letters[1:10]), donos.mesecni = 0)) %>%
  arrange(mesec, delnica) %>%
  group_by(delnica) %>%
  summarise(
    mesec = mesec,
    donos.mesecni = donos.mesecni,
    donos.skupni = cumprod(1 + donos.mesecni),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  ungroup()

Skupni donos posamezne delnice v časovnem obdobju \(5\) let oz. \(60\) mesecev je prikazan na sliki 1.

**Trend skupnega donosa** naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Slika 1: Trend skupnega donosa naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Slika 1 prikazuje skupino naključnih delnic, za katere smo pripravili različne pričakovane donose pri različnih standardnih deviacijah. Opazimo lahko, da je v našem vzorcu delnica D dosegla nadpovprečne donose, del preostalih (E, C, B) se je tudi odrezal dobro, medtem ko preostanek nekoliko slabše. Slika 1 ne predstavlja popolne predstavitve obsega donosnosti, ampak zgolj prikaže manjši delež potencialnih donosov, ki so v okviru omejitev donosa in standardne deviacije, opredeljene ob generiranju naključnih podatkov.

Končni skupni donos naključnega vzorca \(10\) delnic v celotnem časovnem obdobju \(5\) let je prikazan na sliki 2, kjer rdeča črta predstavlja povprečje.

**Končni skupni donos** naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Slika 2: Končni skupni donos naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Opazimo lahko, da se povprečni skupni donosi zadnjih \(5\) let gibljejo v območju od \(-46,84\ \%\) do \(68,75\ \%\). Povprečni skupni donos, ki je na sliki 2 prikazan z rdečo črto, znaša \(7,51\ \%\). To vključuje tudi nadpovprečen donos najboljše delnice D. Če tega najboljšega donosa ne upoštevamo, je povprečen donos preostalih delnic zgolj \(0,71\ \%\).

Konkretne številke v tem primeru niso tako pomembne. Zavedati se je treba, da obstaja množica donosov, odvisnih od tveganja, na katere običajno naletimo ob izbiri naključne množice delnic.

Prilagajanje diverzifikacije

Kaj je sploh smisel diverzifikacije? Verjetno gre za zaščito vlagateljev pred večjo izgubo. Kako pa določimo, kaj je velika izguba? Odgovor je zagotovo odvisen od naložbenega cilja vlagatelja, saj ima vsak vlagatelj drugačen odnos do pričakovane donosnosti in odstopanja od tega pričakovanja. Zato je bolje, če se vprašamo ali smo vedno na boljšem, če uporabljamo diverzifikacijo. To zagotovo ne drži, saj če bi kupili delnico podjetja Apple, ko je bila cena 1 USD, diverzifikacije ne bi potrebovali. Vendar smo v tem primeru pri odločitvi uporabili vpogled vnaprej, kar ni korektno. Bolj ustrezno vprašanje bi tako bilo – ali je bolje, da uporabimo diverzifikacijo, če ne vemo, kakšen bo donos delnic v prihodnje?

Odgovoriti na vprašanje je zahtevno, saj nihče pravzaprav ne ve, kako se bo cena delnic gibala v prihodnje, saj ima lahko vsak svoje mnenje. Izbira ustreznega mnenja oz. upoštevanje pristranskosti je zagotovo zelo težko opravilo. Drug razlog pa je, da dejansko ne boste vedeli, kaj bi bila boljša alternativa, dokler se nek dogodek ne zgodi, kar pa je v bistvu že prepozno. Ugotovili smo, da odgovor na prejšnje vprašanje zahteva poznavanje prihodnosti, kar pa nihče ne pozna. Lahko pa se poigramo z našim naključnim vzorcem od prej in preverimo kako bi različni načini diverzifikacije vplivali na donos. Na podlagi tega lahko opredelimo motivacijo za doseganje boljših rezultatov v prihodnje, vendar se moramo zavedati da analiziramo dogodke iz preteklosti in zgolj poskušamo analizirati kaj se bi lahko zgodilo.

Običajna metrika, ki se uporablja za oceno tveganja je volatilnost, ki meri koliko se delnica premika navzgor ali navzdol. Splošna predpostavka je, da večina vlagateljev želi delnice, ki se dlje časa gibljejo navzgor, kot navzdol. Standardna volatilnost sicer skoraj enako obravnava gibanja navzgor in navzdol, vendar vlagatelji ponavadi dajejo prednost tistim delnicam, ki se močno gibljejo navzgor in se navzdol sploh ne spuščajo.

V nadaljevanju bomo zgradili portfelj 10 delnic in preverili ali je volatilnost portfelja boljša ali slabša od volatilnosti posamezne delnice. Na ta način preprosto izmerimo izpostavljenost posamezne delnice in izmerimo volatilnost čez celotno obdobje ter jo nato primerjamo z volatilnostjo posamezne delnice. Graf na sliki 3 prikazuje letno volatilnost vsake delnice iz naključnega vzorca. Iz vizualizacije lahko opazimo, da se je npr. delnica D \(68,2\ \%\) časa (verjetnost za odmik \(\pm\ 1\ \sigma\)) gibala za \(15,24\ \%\) okrog svojega povprečja \(68,75\ \%\).

**Letna volatilnost** naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Slika 3: Letna volatilnost naključnega vzorca 10 delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Kakšna pa je volatilnost portfelja v primerjavi z volatilnostjo posamezne delnice? Na sliki 3 je z rdečo črto prikazano povprečna volatilnost vseh 10 delnic in s črno črto volatilnost portfelja, v katerega je vključenih vseh 10 delnic z enakim deležem. Vidimo, da z vidika volatilnosti s portfeljem dosežemo presenetljivo dobre rezultate. Volatilnost portfelja ni samo manjša od povprečne volatilnosti vseh delnic, ampak celo manjša od najmanjše volatilnosti delnice B. Glavni razlog za takšen zelo dober rezultat je povezan s korelacijo donosov delnic v portfelju.

Rezultati očitno potrjujejo, da je bolj koristno, če smo pri vlaganju diverzificirani, saj je volatilnost v tem primeru najmanjša. Vendar moramo biti pri tem pazljivi. To je zgolj en primer, kjer smo vse delnice v portfelju enakomerno utežili (vsaka izmed 10 delnic je prispevala \(10\ \%\) k donosu portfelja). Prav tako je volatilnost zgolj en vidik, saj nas zanimajo tudi donosi, zato si v nadaljevanju poglejmo še to.

portfelj.donos.mesecni <- rowSums(matrika * portfelj.utezi)
portfelj.donos.skupni <- cumprod(1 + portfelj.donos.mesecni)

podatki.portfelj <- data.frame(
  delnica = "Portfelj", 
  mesec = 0:60, 
  donos.mesecni = c(0, portfelj.donos.mesecni), 
  donos.skupni = c(1, portfelj.donos.skupni)
)

Na sliki 4 so prikazani donosi posameznih delnic in s črno črto donos portfelja. Opazimo lahko, da je donos portfelja zelo blizu povprečju donosov posameznih delnic, saj je portfelj enakomerno utežen.

**Donos portfelja** v primerjavi z donosom posameznih delnic

Slika 4: Donos portfelja v primerjavi z donosom posameznih delnic

Če še nekoliko ostanemo pri grafu na sliki 4, lahko bolje razumemo, zakaj Warren Buffett nasprotuje diverzifikaciji. Povprečni donos portfelja je namreč zgolj le to – povprečen. Pri tem opozorimo, da je bil Buffettov cilj, da znatno preseže donosnost trga. S tem smo zopet nazaj pri vprašanju o preferencah pri vlaganju, o katerih smo razpravljali že prej.

Na sliki 5 je odebeljeno in v vijolični barvi prikazano gibanje donosa portfelja v primerjavi z gibanjem donosa posameznih delnic. Portfelj ima skromen naraščajoči trend, vrhovi in doline so zelo neizraziti kot pri katerikoli izmed 10 delnic.

**Donos portfelja** in posameznih delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Slika 5: Donos portfelja in posameznih delnic v časovnem obdobju 60 mesecev

Medtem ko na sliki 5 zelo enostavno opazimo, da je portfelj veliko manj volatilen kot posamezne delnica, je pa po drugi strani donos še vedno blizu metanja kovanca. Poraja se vprašanje ali se je v tem primeru res bolje zadovoljiti s povprečnim donosom za minimalno volatilnost? Mogoče je bolje tvegati nesrečo pri izbiri prave delnice? Izkaže se, da so na koncu najbolj pomembne preference vlagatelja, kot pa dejstva. En vlagatelj raje tvega \(10\ \%\) izgubo, če upravičeno pričakuje \(20\ \%\). Spet drug vlagatelj pa ima mogoče raje nižjo donosnost in ga pri tem ne skrbi, da bo izgubil več kot \(5\ \%\). Na tem mestu je tako težko presoditi, katera možnost je boljše, zgolj to da je izbira odvisna od preferenc oz. tolerance vlagatelja.

Kljub temu pa obstaja način rangiranja donosov delnic (ali portfeljev) glede na tveganje, ki ga sprejmemo. Donos preprosto delimo z volatilnostjo, kar predstavlja donos na enoto tveganja. Če je na primer razmerje med donosom in volatilnostjo enako \(40\ \%\), lahko za vsak €, ki ga tvegamo, pričakujemo približno 40 centov donosa.

Na sliki 6 lahko opazimo, da je donos na enoto tveganja pri portfelju boljši od 6 izmed 10 delnic in je zelo blizu 7. delnici.

**Donos na enoto tveganja**

Slika 6: Donos na enoto tveganja

Na ta način smo nekoliko bližje odgovoru na naše vprašanje. Diverzifikacija se v našem enostavnem primeru splača v približno \(70\ \%\), kjer je donos na enoto tveganja portfelja boljši od donosa na enoto tveganja posamezne delnice. Zavedati pa se tudi moramo, da smo uporabili zgolj en način opredelitve uteži v portfelju, medtem ko obstaja še veliko drugih pristopov.

Kljub temu se številne kombinacije opredelitve uteži v portfelju bistveno ne razlikujejo in ko zmanjšamo število delnic v lasti, izginejo tudi prednosti diverzifikacije. Mogoče obstaja kakšna kombinacija delnic, ki je boljša od vseh ostalih, glede na donos na enoto tveganja? Akademska teorija prvi, da obstaja. V tem prispevku smo se problema lotili podatkovno usmerjeno in v nadaljevanju si bomo pogledali kako lahko uporabimo prednosti diverzifikacije pri kreiranju večjega vzorca portfeljev, kjer bomo poskušali odgovoriti na naše začetno vprašanje na podlagi večjega obsega podatkov.

Korelacija

Korelacija je razmeroma enostaven koncept. Če sta dve delnici nagnjeni h gibanju v isti smeri, sta korelirani, sicer pa ne. Obseg korelacije določa, kako tesno sta gibanji povezani (npr. glede na frekvenco in amplitudo). Matematično gledano je korelacija vrednost med -1 (popolnoma negativna korelacija) in 1 (popolnoma pozitivna korelacija). Pri portfelju je pomen korelacije še posebej izrazit pri delnicah, ki niso popolnoma pozitivno korelirane, saj je v tem primeru celotna volatilnost portfelja manjša kot volatilnost poljubne delnice v portfelju. Delnice se premikajo navzgor in navzdol, kjer v primeru manjše medsebojne koreliranosti padci nadomestijo rasti in obratno.

Korelacija ima tudi svoje pomanjkljivosti. Ko večina delnic v portfelju raste in pada zgolj manjši delež delnic, smo zadovoljni. Zagotovo pa nam ni všeč, ko delnice, ki padajo, izničijo nadpovprečne donose uspešnih delnic. Čeprav je vedno smiselno imeti delnice, ki niso medsebojno visoko korelirane, v portfelju ne želimo imeti veliko takšnih delnic. V takšnem primeru bi namreč bili donosi portfelja zanemarljivi, saj bi vsak premik navzgor nevtraliziral skoraj enak premik navzdol.

Naslednja težava je, da ne obstaja idealne korelacije med delnicami v portfelju in zagoto ne želimo popolne korelacije med njimi. Kakšna pa je pravilna raven korelacije? Profesionalni vlagatelji oblikujejo portfelje, kjer optimizirajo donos pri določeni stopnji tveganja ali obratno. Korelacija je vhodni parameter modela, vendar ga ne optimiziramo. Pomembna se je zavedati, da se korelacije spreminjajo, kar vpliva na volatilnost portfelja. Predstavljajmo si, da sestavimo portfelj, ki ima ustrezno razmerje nekoreliranih delnic, kjer po nekaj mesecih ugotovimo, da so se korelacije spremenile.

Če želimo imeti koristi od diverzifikacije, ne potrebujemo negativno koreliranih delnic. Že lastništvo manj pozitivno koreliranih delnic nam zniža volatilnost portfelja. To sicer ne pomeni, da se zmanjša verjetnost izgube, kar je zopet drugačna opredelitev tveganja. Vrnimo se zato raje na naš osrednji poblem — razumeti, kako korelacija podpira diverzifikacijo. Spomnimo se grafa donosa naključne skupine delnic na sliki 1, medtem ko smo na sliki 3 ugotovili, da je volatilnost portfelja manjša od volatilnosti vseh delnic, ki portfelj sestavljajo.

Motivacija za diverzifikacijo

Razlog za manjšo volatilnost portfelja od vseh delnic v njem je ravno v korelaciji. Nekatere delnice portfelja so dosegle višje vrednosti na koncu obravnavanega obdobja, spet druge ob začetku, kar pomeni, da je korelacija teh delnic medsebojno neodvisna. Poleg tega je pri delnicah, ki se gibljejo v isto smer, opaziti dovolj velike razlike v poteh gibanja in količine premikov, kar tudi vpliva na znižanje korelacije.

Poglejmo si sedaj kako korelacija pri diverzifikaciji pomaga zmanjšati volatilnost portfelja v primerjavi z množico delnic portfelja. Začnimo s preprostim portfeljom dveh delnic in predpostavimo, da imata obe delnici enak profil tveganja in pričakovan donos ter da sta v portfelju enakovredno zastopani. Nato bomo simulirali različne volatilnost portfelja, na podlagi različnih korelacijskih koeficientov.

stdev.a <- stdev.b <- 0.14

stdev2 <- c(stdev.a, stdev.b)
stdev2.matrika <- stdev2 %*% t(stdev2)

utezi2 <- c(.5, .5)

korelacija2.portfelj <- seq(1, -1, -.01)
stdev2.portfelj <- c()
for (i in 1:length(korelacija2.portfelj)) {
  korelacija2.matrika <- matrix(c(1, korelacija2.portfelj[i], korelacija2.portfelj[i], 1), 2)
  kovarianca2.matrika <- korelacija2.matrika * stdev2.matrika
  stdev2.portfelj[i] <- sqrt(t(utezi2) %*% kovarianca2.matrika %*% utezi2)
}

odvisnost2.portfelj <- data.frame(
  korelacija = korelacija2.portfelj, 
  volatilnost = stdev2.portfelj
)
Volatilnost portfelja z dvema delnicama v primerjavi s korelacijo

Slika 7: Volatilnost portfelja z dvema delnicama v primerjavi s korelacijo

Ko sta delnici medsebojno popolnoma korelirani, je volatilnost portfelja je enaka volatilnosti posamezne delnice, kar prikazuje slika 7. Po drugi strani pa je v primeru popolne negativne korealcije delnic volatilnost takšnega portfelja enaka \(0\). Volatilnost seveda ne bi bila \(0\), če delnici ne bi imeli popolnoma enakih volatilnost ali v portfelju ne bi bili enakovredno zastopani. Na sliki 7 je skala korelacija na osi x obrnjena, da lažje opazimo padajoči trend volatilnosti z manjšanjem volatilnosti. Pomembna ugotovitev je tudi, da trend padanja volatilnosti ni linearen. Padec volatilnosti pri vrednosti korelacija v intervalu od \(100\ \%\) do \(0\ \%\) je blizu linearnosti, nato od \(0\ \%\) do \(-100\ \%\) pa je padec pospešen.

Kaj pa se zgodi s skupno volatilnostjo, če v portfelj dodamo še tretjo delnico? Vse je odvisno od korelacij prvih dveh delnic in kako je tretja delnica korelirana z obstoječima delnicama. Na primeru je težko prikazati širši spekte korelacij, zato bomo v nadaljevanju predstavili tri primere (glej sliko 8), kjer imajo delnice v prvotnem portfelju negativno \((-50\ \%)\), \(0\ \%\) ali pozitivno korelacijo \((50\ \%)\). Tretjo delnico, ki jo bomo dodali, bo imela \(50\ \%\) korelacijo s prvo delnico in različne korelacije z drugo delnico.

stdev.c <- 0.14

stdev3 <- c(stdev.a, stdev.b, stdev.c)
stdev3.matrika <- stdev3 %*% t(stdev3)

utezi3 <- c(1/3, 1/3, 1/3)

# 1. scenarij (negativna korelacija)
# :: a & b = -0,5 :: b & c = 0,5 :: a & c = obmocje ::
korelacija.negativna <- seq(.5, -1, -1.5/20)
volatilnost.negativna <- c()
for (i in 1:length(korelacija.negativna)) {
  korelacija3.matrika <- matrix(c(
    1, -.5, .5, 
    -.5, 1, korelacija.negativna[i], 
    .5, korelacija.negativna[i], 1
  ), 3, byrow = TRUE)
  kovarianca3.matrika <- korelacija3.matrika * stdev3.matrika
  volatilnost.negativna[i] <- sqrt(t(utezi3) %*% kovarianca3.matrika %*% utezi3)
}

# 2. scenarij (korelacija 0)
# :: a & b = -0,5 :: b & c = 0,5 :: a & c = obmocje ::
korelacija.nic <- seq(.85, -.85, -1.7/20)
volatilnost.nic <- c()
for(i in 1:length(korelacija.nic)) {
  korelacija3.matrika <- matrix(c(
    1, 0, .5, 
    0, 1, korelacija.nic[i], 
    .5, korelacija.nic[i], 1
  ), 3, byrow = TRUE)
  kovarianca3.matrika <- korelacija3.matrika * stdev3.matrika
  volatilnost.nic[i] <- sqrt(t(utezi3) %*% kovarianca3.matrika %*% utezi3)
}

# 3. scenarij (pozitivna korelacija)
# :: a & b = -0,5 :: b & c = 0,5 :: a & c = obmocje ::
korelacija.pozitivna <- seq(1, -.5, -1.5/20)
volatilnost.pozitivna <- c()
for(i in 1:length(korelacija.pozitivna)){
  korelacija3.matrika <- matrix(c(
    1, .5, .5, 
    .5, 1, korelacija.pozitivna[i], 
    .5, korelacija.pozitivna[i], 1), 3, byrow = TRUE)
  kovarianca3.matrika <- korelacija3.matrika * stdev3.matrika
  volatilnost.pozitivna[i] <- sqrt(t(utezi3) %*% kovarianca3.matrika %*% utezi3)
}

odvisnost3.portfelj <- data.frame(
  id = rep(1:3, each = 21), 
  korelacija = c(korelacija.negativna, korelacija.nic, korelacija.pozitivna), 
  volatilnost = c(volatilnost.negativna, volatilnost.nic, volatilnost.pozitivna)
)

korelacija2 <- c(-.5, 0, .5)
odvisnost2.portfelj <- data.frame(
  id = c(1:3), 
  korelacija = korelacija2, 
  volatilnost = rep(NA,3)
)
for(i in 1:3) {
  korelacija2.matrika <- matrix(c(1, korelacija2[i], korelacija2[i], 1), 2)
  kovarianca2.matrika <- korelacija2.matrika * stdev2.matrika
  odvisnost2.portfelj[i, 3] <- sqrt(t(utezi2) %*% kovarianca2.matrika %*% utezi2)
}
Sprememba volatilnosti portfelja z dvema delnicama, ko dodamo tretjo delnico

Slika 8: Sprememba volatilnosti portfelja z dvema delnicama, ko dodamo tretjo delnico 

meja.korelacija.negativna <- odvisnost3.portfelj %>% 
  filter(id == 1, volatilnost <= odvisnost2.portfelj[odvisnost2.portfelj$id == 1, 3]) %>% 
  summarise(korelacija = round(max(korelacija), 2) * 100) %>%
  as.numeric()

Na podlagi rezultatov na sliki 8 lahko sklepamo, da bolj kot so delnice medsebojno korelirane, večja je volatilnost portfelja. Dodajanje nove (tretje) delnice v portfelj pogosto zmanjša volatilnost portfelja, vendar ne v vseh primerih. Če imamo portfelj z negativno korelacijo, bo dodajanje delnice s pozitivno korelacijo eni izmed delnic, povzročila nižjo volatilnost portfelja, če je v zadostni meri negativno korelirana z drugo delnico (okrog \(40\ \%\) ali manj). Prav tako pa v primeru, ko je korelacija portfelja \(0\) ali pozitivna, lahko celo dodajanje delnice s pozitivno korelacijo zmanjša volatilnost portfelja.

Na podlagi teh ugotovitev lahko povzamemo prvo ugotovitev – če so obstoječe delnice v portfelju negativno korelirane, bo dodajanje pozitivno korelirane delnice (z obstoječimi delnicami) verjetno povečala volatilnost portfelja, razen če je negativno korelirana z drugimi delnicami v portfelju v skoraj isti velikosti, kot znaša ta pozitivna korelacija.

meja.korelacija.nic <- odvisnost3.portfelj %>% 
  filter(id == 2, volatilnost <= odvisnost2.portfelj[odvisnost2.portfelj$id == 2, 3]) %>% 
  summarise(korelacija = round(max(korelacija),2)*100) %>%
  as.numeric()

Druga ugotovitev je – v primeru majhne korelacije med delnicami v portfelju bo dodajanje nove delnice, ki je pozitivno korelirana z obstoječo dolnico, zmanjšalo celotno volatilnost portfelja, če ta korelacija s preostalimi delnicami ni prevelika. V tem primeru korelacija ne sme biti višja od \(17\ \%\).

meja.korelacija.pozitivna <- odvisnost3.portfelj %>% 
  filter(id == 3, volatilnost <= odvisnost2.portfelj[odvisnost2.portfelj$id == 3, 3]) %>% 
  summarise(corr = round(max(korelacija),2)*100) %>%
  as.numeric()

In še zadnja ugotovitev – če so delnice v začetnem portfelju že pozitivno korelirane, bo dodajanje še ene delnice, ki je visoko korelirana z obstoječimi, v splošnem zmanjšala volatilnost portfelja, če korelacija drugimi delnicami ni pretirano visoka (npr. do \(85\ \%\)).

korelacije <- data.frame(
  portfelj = c("Negativna\nkorelacija", "Korelacija\n0", "Pozitivna\nkorelacija"),
  verjetnost = rep(NA, 3)
)
for (i in 1:3) {
  korelacije[i,2] <- 
    odvisnost3.portfelj %>%
    filter(id == i) %>%
    summarise(mean(volatilnost < odvisnost2.portfelj[i, 3])) %>%
    as.numeric()
}

Slika 9 na preprost način prikazuje kakšna je verjetnost, da se bo volatilnost portfelja ob dodajanju tretje delnice znižala v primeru prej omenjenih treh scenarijih.

**Verjetnost znižanja volatilnosti porfelja** ob dodajanju tretje delnice

Slika 9: Verjetnost znižanja volatilnosti porfelja ob dodajanju tretje delnice

Ugotovimo lahko, da se pri združevanju delnic, ki niso popolnoma pozitivno korelirane, celotna volatilnost portfelja zmanjša. Ko pa že imamo delnice, ki niso popolnoma korelirane in portfelju dodamo novo delnico, je zmanjšanje (če je sploh prisotno) volatilnosti portfelja odvisna od velikosti in predznaka korelacije nove delnice v primerjavi z obstoječimi delnicami.

Zakaj moramo torej upoštevati korelacijo? Pri oblikovanju portfelja upoštevamo pričakovano tveganje in donos potencialnih delnic. Skupna volatilnost portfelja je seveda določena s pričakovanim tveganjem posamezne delnice, kjer se prav tako upošteva korelacija posamezne delnice z vsako preostalo delnico in k portfelju doprinese glede na utež delnice v portfelju. Pri portfelju z \(n\) delnicami moramo poznati \(\frac{n\ \cdot\ (n - 1)}{2}\) korelacij.

Razumevanje sprememb volatilnosti portfelja pri več kot 3 delnicah postane razmeroma zapleteno, saj se poveča število parov korelacij, ki jih moramo upoštevati. Če se vrnemo nazaj na naš enostavni primer portfelja s 3 delnicami, vidimo da moramo upoštevati zgolj 3 pare korelacij. To si še razmeroma enostavno predstavljamo – npr. spustimo 3 kroglice iz okna drugega nadstropja hiše in nas zanima v katero smer se lahko te kroglice odbijejo. Ne glede na smer odboja in relativne smeri glede na druge kroglice, si je takšno situacijo še možno predstavljati. Pri 4 žogicah postane to bolj zapleteno. Kaj pa 4 žogice po večkratnih odbojih? To je pa že skoraj neizvedljivo.

Če se vrnemo nazaj na prvotno vprašanje – ali je za vlagatelja bolje, da je diverzificiran, če vnaprej ne pozna gibanja delnic? Najprej je potrebno izpostaviti, da ni pomembna zgolj uspešnost delnic, ampak tudi kakšna je njihova medsebojna korelacija. Glede na izsledke v predhodnem delu prispevka bi lahko trdili, da smo izpostavili tudi slabosti diverzifikacije. V nekateri primerih lahko namreč dodajanje delnic v portfelj s ciljem zmanjšanja volatilnost, dosežemo ravno nasprotno.

Spomnimo se našega naključnega vzorca delnic, kjer smo ugotovili, da je diverzifikacija pozitivno vplivala v približno \(70\ \%\) primerih, kjer smo s portfeljem dosegli boljši donos na enoto tveganja. Še vedno pa so ti zaključki preuranjeni, saj smo:

V nadaljevanju si bomo ogledali, kaj se zgodi pri generiranju naključnih vzorcev korelacij.

Primer odbijajočih kroglic

Že prej smo primerjali napovedovanje korelacij z načinom odboja treh kroglic, ko jih spustimo iz okna drugega nadstropja ter si nato skušamo predstavljati, kako bi vsak odboj od vsake kroglice vplival na odboj od vseh ostalih kroglic, kar zagotovo ni enostavno.

Takšen naključni izbor korelacij lahko preprosto računalniško simuliramo in združene rezultate uporabimo pri izračunu volatilnosti. Računalniška simulacija bo preverila, kako žogice odskakujejo na vse možne načine, mi pa želimo pri tem ugotoviti intuicijo.

Na sliki 1 najdemo prvotni donos portfelja 10 delnic in na sliki 3 je prikazana volatilnost portfelja.

Izvedli bom simulacijo z izračunom množice korelacij med 10 delnicami, kar posledično predstavlja 45 parov korelacij. Pri tem bomo predpostavili, da imajo naše delnice enak profil donosa in volatilnosti, vendar drugačne korelacije, kot prvotno ustvarjene. Pripravili bomo 10.000 korelacijskih matrik in na podlagi tega izračunali volatilnost portfelja za vsako izmed teh naključnih množic korelacij. Enakovredna utežitev delnic v portfelju ostaja enaka kot na začetku. …